Разработка урока ( 2*45 мин.) в 10 классе с профильным
изучением математики по
теме: «Применение производной
к решению математических задач практического
содержания.» Останькович Татьяна
Эдгаровна- учитель высшей категории. Цель: формирование практических
навыков применения
теоретических знаний и общеучебных компетенций учащихся. Задачи: ·
познавательный
аспект- расширение общего кругозора школьников, стимулирование познавательной деятельности,
умение находить и обрабатывать информацию; ·
учебный
аспект- активизация мыслительной деятельности учащихся при решении
задач прикладного характера, алгоритмизация деятельности; ·
воспитательный
аспект- развитие умения работать в команде, активно слушать,
уважать чужое мнение, формировать потребности в самовыражении и научном
творчестве. Математические задачи с
практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в
технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим
задачи, которые можно решить с помощью производной . Эти задачи не совсем
обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения. Одним из важнейших понятий
математического анализа является производная функции. Производная характеризует
скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В
геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость
неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения
колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции
(выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции. В приложениях математики к
решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения
которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение
неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение
точных методов измерения не целесообразно. Для упрощения и облегчения
вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы.
Теоретической основой одного из простейших приемов приближенных значений
вычислений является понятие дифференциала. Приближенное значение приращение
функции называется дифференциалом функции и обозначается dy, причем dy=y’(x)dx. Среди многих задач, решаемых с
помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума
функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения
соответствующих функций. Рассмотрим некоторые из них. ( Образцы задач может
приводить как сам учитель, так и заранее подготовленные ученики). Задача
№1 Докажите, что уравнение 3x5 – 25x3 + 60x + 15 = 0 имеет только один действительный
корень. Решение: Рассмотрим функцию f(x) = 3x5 – 25x3 + 60x + 15 = 0 и найдем её интервалы
монотонности. Имеем: f’(x) = 15x4 – 75x2 + 60 = 15(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2). Производная f’(x)
обращается в нуль в четырех точках: -2, -1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую
прямую на пять промежутков: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; +∞). На каждом из указанных
промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на
каждом из этих промежутков функция y = f(x)
монотонна, т.е. или возрастает или убывает. Тогда график функции на каждом из
указанных промежутков может пересекать ось абсцисс не более∞ чем в одной точке.
Это значит, что функция y = f(x) на
каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем
корни функции могут быть в тех и только тех промежутках, на концах которых
функция имеет разные по знаку значения. Имеем lim
f(x) = - ∞, f(- 2) < 0, f(-
1) < 0, f(1) > 0, f(2)
> 0, lim f(x) =
+∞ x
→
- ∞
x
→
+∞
f(1)
> 0, f(2) > 0, lim f(x) =
+∞ x
→ + ∞ Так как f(x) имеет
различные знаки только на концах промежутка (-1; 1), то заданное уравнение
имеет лишь один действительный корень, лежащий внутри этого интервала. Задача
№2. При извержении вулкана камни горной
породы выбрасываются перпенди- кулярно
вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни,
если сопротивлением ветра пренебречь? Решение: Вещество выбрасывается
перпендикулярно вверх. Высота камня h,
функция времени- h(t) = Vо t -1/2gt2
.Откуда следует: h(t)= v(t)= vо–gt.
Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают
уровня 720 м от края вулкана.
Задача
№3. Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием
силы F,
приложенной к центру тяжести. Какой угол
α должна составлять линия действия силы F
с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием
наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к. Решение: Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную
составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей
силы F:N=P-F
sinα, поэтому сила
трения F тр =kN= =k(P-Fsinα). Сани будут двигаться равномерно при
условии компенсации горизонтальных сил: Fx=Fтр., то есть Fcosα=k (P-Fsinα).
Далее находим силу как функцию угла α: F(α)= kP/(ksinα+cosα). F′(α) =kP(sinα-kcosα)/(ksinα+cosα)2.
Тогда F′(α)=0 при k=tgα. Определим знак второй
производной в этой точке…
Из решения этой задачи можно сделать
практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим
коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же
коэффициент трения мал, веревка должна
быть длинной.
Задача№4.
Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости
х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой
скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход. Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной:
f′(х)=0,0034х-0,18.Тогда f′(х)=0 при х≈53. Определим знак второй
производной в критической точке: f′′(х)=0,0034>0,
следовательно, рас- ход горючего при скорости 53
км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43
л.
Задача№5.
Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U(t)=0,15t2
– 2t2 + 200, где t
–месяцы, U-миллионы.
Исследуйте оборот предприятия. Решение. Исследуем оборот
предприятия с помощью производной:U′(t)=0,45t2 - 4t U′′(t)=0,9t-4 U″′(t)=0,9. Момент наименьшего
оборота при U(t)=0, т.е.при t=8,9.Наименьший оборот был
на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение
оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4.Так
как U″′(t)>0, то на пятом месяце
имеется сильное снижение оборота. Точки
перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой
конкретно момент произошло изменение. Так,
например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы: 1.В начале
исследуемого периода у предприятия было снижение оборота; 2.Предприятие
пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные
средства. На пятом
месяце ( точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить
из кризиса, а
на девятом месяце стало набирать обороты.
Задачи из биологии и химии Биологический смысл производной. Пусть
зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t).
Пусть ∆t-промежуток времени от некоторого начального значения t до
t+∆t. Тогда у+∆у=p(t+∆t)-
новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+∆t,
а ∆y+p(t+∆t)-p(t)-изменение
числа особей организмов. Химический смысл производной. Пусть дана функция m=m(t),где
m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую
реакцию в момент времени t. Приращению времени ∆t
будет соответствовать приращение ∆m величины
m. Отношение ∆m/∆t-
есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t.
Предел этого отношения при стремлении t∆ к нулю- есть скорость
химической реакции в данный момент времени .
Р а с с м о т р и м
н е с к о л ь к о з а д а ч
Задача №6. Зависимость между количеством х вещества,
получаемого в результате некоторой химической реакции и временем t выражается уравнением
Х=А(1+е)
Определите скорость химической реакции в момент времени t.
Задача
№7. Закон накопления сухой биомассы у винограда сорта Шалса определяется
уравнением y=0,003x-0,0004x ,
где x- число
дней от распускания почек, y-накопление
биомассы в кг на 1 куст. Равенство отражает зависимость величин x и y
как средний результат массовых наблюдений.
Выясните, как изменится сухая биомасса при изменении от 50 до 60 дней.
Задача
№8. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении
кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других
физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства,
его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У -
функция степени реакции. У=f(x)=x2(a-x) ,где а - некоторая положительная
постоянная. При каком значении Х реакция максимальна? Решение: 0<x<а. Значит f′(x)=2ax-3x2 . Тогда
f′(x)=0 при x=⅔ а. В этой точке f″(⅔ а)= -2а<0, то х=⅔-а - тот уровень
дозы, который дает максимальную реакцию. Точки
перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых
некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее)
чувствительна к каким-либо воздействиям.
Предлагается
творческое задание (при наличии времени на уроке, если имеем в наличии
сдвоенные уроки. Если такая возможность отсутствует, творческое задание
выполняется дома). Задача
№9. За
последние 10 лет численность грызунов в городе Н выросла в 5 рази достигла 1 миллиона особей: по одной крысе
на каждого жителя. За год одна пара крыс способна воспроизвести 50 штук себе
подобных. По словам эпидемиологов, крысы являются переносчиками многих болезней
– чумы, бешенства, энцефалита. Составьте задачу по приведенным данным и решите
её.
Задача
№10.
Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)=
-9,3+6,86х-0,49х , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором
суточный удой будет наибольшим. Подведение итогов. | |
[ · Скачать весь документ (60 КБ) ] | 28.08.2012, 16:07 |
Просмотров: 21375 | Загрузок: 1820 | Рейтинг: 0.0/0 |
Применение производной к решению математических задач практического содержания (Останькович Т.Э.)